Equazione differenziale algebrica

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In matematica, un'equazione differenziale algebrica, anche detta differential algebraic equation o DAE, è una forma generale di equazione differenziale in cui le derivate non sono espresse in forma esplicita, a differenza dei sistemi ODE. Tipicamente le derivate di alcune variabili dipendenti possono non apparire affatto nelle equazioni. La forma generale di un sistema DAE è data da:

${\displaystyle \mathbf {F} \left(t,\mathbf {y} (t),\mathbf {y'} (t)\right)=\mathbf {0} }$

con:

${\displaystyle \mathbf {y'} (t)={\frac {d\mathbf {y} (t)}{dt}}\qquad \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{m}}$

I sistemi DAE sono utili per descrivere una classe di sistemi fisici più ampia di quelli descritti dal tradizionale sistema dinamico (insiemi di ODE), prevedendo anche la possibilità di vincoli algebrici sulle variabili di stato. Spesso la scrittura di modelli matematici di sistemi fisici risulta molto più naturale in termini di un sistema DAE: si pensi a tutti i casi in cui il modello scaturisce dall'aggregazione di modelli elementari (per esempio la connessione rigida di due o più masse) oppure vi siano vincoli espliciti sulle variabili (come la somma nulla delle correnti in un sistema trifase collegato a stella).

I sistemi DAE sono ricorrenti in tante branche delle scienze, ma la letteratura non è omogenea nella terminologia: ci si riferisce ad essi anche come sistemi impliciti, non causali o vincolati.